2010年高考平面向量试题汇编+(答案解析)

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第五章平面向量一平面向量的概念及基本运算【考点阐述】向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．【2010年湖北卷理5文8】．已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0．若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=BA．2B．3C．4D．5【解析】由MA+MB+MC=0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则AM=31AD=32·21（AB+AC）=31（AB+AC），所以有AB+AC=mAM，故m=3，选B．【2010年全国Ⅱ卷理8文10】．△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB．若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=1，则CD=BA．31a+32bB．32a+31bC．53a+54bD．54a+53b【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得CBCADBAD=2，所以D为AB的三等分点，且AD=32AB=32（CB―CA），所以CD=CA+AD=32CB+31CA=32a+31b．【2010年陕西卷理11文12】．已知向量a=（2，―1），b=（―1，m），c=（―1，2），若（a+b）∥c，则m=．【答案】―1【解析】∵a+b=（1，m―1），c=（―1，2），∴由（a+b）∥c得1×2―（―1）×（m―1）=0，所以m=―1．【2010年高考上海市理科13】．如图所示，直线x=2与双曲线Г：42x―y2=1的渐近线交于E1，E2两点，记1OE=e1，2OE=e2，任取双曲线上的点P，若OP=ae1+be2（a，b∈R），则a、b满足的一个等式是．4ab=1【答案】4ab=1【2010年高考上海卷文科13】．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（5，0），e1=（2，1），e2=（2，―1）分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若OP=ae1+be2（a，b∈R），则a、b满足的一个等式是4ab1．解析：因为e1=（2，1），e2=（2，―1）是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为xy21，又c=5，所以a=2，b=1，双曲线方程为1422yx，OP=ae1+be2=（2a+2b，a―b），1)(4)22(22baba，化简得4ab1．二平面向量的数量积【考试要求】掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．【2010年江西卷文13】．已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是．【答案】1【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值【湖南卷理4】．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则AB·AC等于DA．―16B．―8C．8D．16解析一：因为∠C=90°，所以AC·CB=0，AB·AC=（AC+CB）·AC=AC2+CB·AC=16．解析二：AB在AC上的投影为|AC|，所以AB·AC=|AC|2=16．【2010年北京卷理6】．a、b为非零向量。“a⊥b”是“函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）为一次函数”的BA．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x―a·b，如a⊥b，则有a·b=0，如果同时有|a|=|b|，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则a·b=0，因此可得a⊥b，故该条件必要。【2010年北京卷文4】．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）是AA．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x―a·b，由a⊥b，则a·b=0，f（x）=（|b|2―|a|2）x，故f（x）是一次函数且是奇函数．【2010年江西卷理13】．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，则|a―b|=．3【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图a=OA，b=OB，a―b=OA―OB=BA，由余弦定理得：|a―b|=3．【2010年重庆卷理2】．已知向量a，b满足a·b=0，|a|=1，|b|=2，则|2a―b|=BA．0B．22C．4D．8解析：|2a―b|=22844)2(222bbaaba.【2010年浙江卷文13】．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a⊥（a―2b），则|2a+b|的值是．解析：10，由题意可知a·（a―2b）=0，结合|a|=1，|b|=2，解得a·b=21，所以|2a+b|2=4a2+4a·b+b2=8+2=10，开方可知答案为10，【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。【2010年浙江卷理16】．已知两平面向量a，b均为非零向量，且a≠b，|b|=1，a与b―a的夹角为120°，则|a|的取值范围是_______．（0，332]【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题．【解析】如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=1，设∠ACB=θ，由正弦定理得：sinAB60sinAC，OABCBCA60°ф120°ab―ab|a|=|AB|=32sinφ≤332，故|a|∈（0，332]．【2010年湖南卷文6】．若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）·b=0，则a与b的夹角为CA．30°B．60°C．120°D．150°【解析】（2a+b）·b=2a·b+b·b=0，所以a·b=―21|b|2，cos﹤a，b=﹥―21，﹤a，b﹥=120°．【2010年辽宁卷理8文8】．平面上O，A，B三点不共线，设OA=a，OB=b，则△OAB的面积等于CA．222()ababB．222()ababC．2221()2ababD．2221()2abab解析：2222111()||||sin,||||1cos,||||1222||||OABabSabababababab2221()2abab【2010年四川卷理5文6】．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16，|AB+AC|=|AB―AC|，则|AM|=CA．8B．4C．2D．1解析：由BC2＝16，得|BC|＝4，|AB+AC|=|AB―AC|=|BC|＝4，而|AB+AC|=2|AM|，故|AM|=2．【2010年天津卷文9理（填空）15】．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，则AC·AD=DA．23B．32C．33D．3【解析】AC·AD=|AC|·|AD|cos∠DAC=|AC|cos∠DAC=|AC|sin∠BAC=|BC|sin∠B=3|BD|sin∠B=3．【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想,有点难度.【2010年全国Ⅰ卷理11文11】．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA·PB的最小值为DA．42B．32C．422D．322【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析1】如图所示：设PA=PB=x(0)x，∠APO=α，则∠APB=2α，PO=21x，21sin1x，||||cos2PAPBPAPB=22(12sin)x=222(1)1xxx=4221xxx，令PAPBy，则4221xxyx，即42(1)0xyxy，由x2是实数，所以2[(1)]41()0yy，2610yy，解得322y或322y.故min()322PAPB.此时21x.【解析2】法一：设,0APB，2cos1/tancos2PAPBPAPBDABCPABO2222221sin12sincos22212sin2sinsin22法二：换元：2sin,012xx，112123223xxPAPBxxx或建系：园的方程为221xy，设11110(,),(,),(,0)AxyBxyPx，2211101110110,,001AOPAxyxxyxxxyxx22222222110011011022123223PAPBxxxxyxxxxx【2010年山东卷理12文12】．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=mq―np，下面说法错误的是BA．若a与b共线，则a⊙b=0B．a⊙b=b⊙aC．对任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2·|b|2【解析】若a与b共线，则有a⊙b=mq―np，故A正确；因为b⊙a=pn―qm，而a⊙b=mq―np，所以有a⊙b≠b⊙a，故选项B错误，故选B。【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。【2010年重庆卷文3】．若向量a=(3，m)，b=(2，―1)，a·b=0，则实数m的值为DA．32B．32C．2D．6【解析】a·b=6―m=0，所以m=6．【2010年安徽卷理3文3】．设向量a=（1，0），b=（21，21），则下列结论中正确的是CA．|a|=|b|B．a·b=22C．a―b与b垂直D．a∥b解析：a―b=（21，―21），（a―b）·b=0，所以a―b与b垂直．【2010年福建卷文8】．若向量a=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“|a|=5”的AA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由x=4得a=（4，3），所以|a|=5；反之，由|a|=5可得x4。【命题意图】本题考查平面向量、常用逻辑用语等基础知识。【2010年广东卷文5】．若向量a=（1，1），b=（2，5），c=(3，x)满足条件(8a－b)·c=30，则x=A．6B．5C．4D．3解析：8a－b=（6，3），(8a－b)·c=6×3+3x=30，故x=4．【2010年全国Ⅰ新课标卷文2】．a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于CA．865B．865C．1665D．1665解析：由已知得b=（2a+b）―2a=（―5，12），所以cos,ababab4(5)3121651365．【2010年高考福建卷理科7】．若点O和点F（―2，0）分别是双曲线22ax―y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP·FP的取值范围为BA．[3-23,)B．[323,)C．7[-,)4D．7[,)4【解析】因为F（―2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为32x―y2=1，设点P（x0，y0），则有220001(3)3xyx，解得220001(3)3xyx，因为00(2,)FPxy，00(,)OPxy，所以2000(2)OPFPxxy=00(2)xx2013x2004213xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x，因为03x，所以当03x时，OP·FP取得最小值432313323，故OP·FP的取值范围是[323,)，选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2010年高考福建卷文科11】．若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为CA．2B．3C．6D．8【解析】由题意，F（-1，0），设点P（x0，y0），则有2200143xy,解得22003(1)4xy，因为00(1,)FPxy，00(,)OPxy，所以OP·FP=2000(1)OPFPxxy=00(1)OPFPxx203(1)4x=20034xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x，因为022x，所以当x0=2时，OP·FP取得最大值222364，选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2010年江苏卷15】．在平面直角坐标系xOy中，点A(―1，―2)，B(2，3)，C(―2，―1)．（Ⅰ）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（Ⅱ）设实数t满足（AB―tOC）·OC=0，求t的值．[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力．（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)ABAC，则(2,6),(4,4).ABACABAC所以||210,||42.ABACABAC故所求的两条对角线的长分别为42、210。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；（2）由题设知：OC=(－2,－1)，(32,5)ABtOCtt。由（AB―tOC）·OC=0，得：(32,5)(2,1)0tt，从而511,t所以115t。或者：2·ABOCtOC，(3,5),AB2115||ABOCtOC【2010年上海市春季高考22】．【2010年高考福建卷文科18】．设平顶向量ma＝（m,1）,nb=(2,n)，其中m，n{1,2,3,4}.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得ma（ma-nb）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率。【2010年高考湖北卷文科20】．已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。（Ⅰ）求曲线C的方程（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有FA·FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。